卡方检验
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卡方检验是用途非常广的以**卡方分布**（深入浅出统计学有讲）为基础的一种假设检验方法，它属于非参数检验的范畴，主要是比较两个及两个以上样本率( 构成比）以及两个分类变量的**关联性分析**。
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> **[卡方分布](https://www.bilibili.com/video/BV1aa4y1v7Pf?from=search&seid=2094278267453790560)**
卡方值服从独立标准正态分布？
以运营为例:
- 卡方检验可以检验男性或者女性对线上买生鲜食品有没有区别；
- 不同城市级别的消费者对买SUV车有没有什么区别；
举例：两组大白鼠在不同致癌剂作用下的发癌率如下表，问两组发癌率有无差别？
| 处理 | 发癌数 | 未发癌数 | 合计 | 发癌率% |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲组 | 52 | 19 | 71 | 73.24 |
| 乙组 | 39 | 3 | 42 | 92.86 |
| 合计 | 91 | 22 | 113 | 80.33 |
（52，19，39，3） 这四个数据是整个表中的基本资料，其余数据均由此推算出来；这四格资料表就专称四格表（fourfold table），或称2行2列表（2×2 contingency table）。从该资料算出的两组发癌率分别为73.24%和92.86%，两者的差别可能是抽样误差所致，亦可能是两组发癌率（总体率）确有所不同。这里可通过卡方检验来区别其差异有无统计学意义，检验的基本公式为：
$$ x^{2}=\sum \frac{(A-T)^{2}}{T} $$
式中A为实际数，以上四格表的四个数据就是实际数。T为理论数，是根据检验假设推断出来的；即假设这两组的发癌率本无不同，差别仅是由抽样误差所致。这里可将两组合计发癌率作为理论上的发癌率，即 91/113=80.3%，以此为依据便可推算出四格表中相应的四格的理论数。以上表资料为例检验如下。
### 卡方检验步骤：
**1. 建立检验假设**
H0：两组发癌率有差别
H1：两组发癌率无差别
α=0.05
**2. 计算理论数（TRC），计算公式为： TRC=nR x nC/n**
式中TRC是表示第R行C列格子的理论数，nR为理论数同行的合计数，nC为与理论数同列的合计数，n为总例数。
第1行1列： 71×91/113=57.18
第1行2列： 71×22/113=13.82
第2行1列： 42×91/113=33.82
第2行2列： 42×22/113=8.18
以推算结果，可与原四项实际数并列成下表：
| 处理 | 发癌数 | 未发癌数 | 合计 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 甲组 | 52 ( 57.18 ) | 19 ( 13.82 ) | 71 |
| 乙组 | 39 ( 33.82 ) | 3 ( 8.18 ) | 42 |
| 合计 | 91 | 22 | 113 |
因为上表每行和每列合计数都是固定的，所以只要用TRC式求得其中一项理论数（例如T1.1=57.18），则其余三项理论数都可用同行或同列合计数相减，直接求出。
**3. 计算卡方值按公式代入**
卡 方 $=x^{2}=\sum \frac{(A-T)^{2}}{T}=\frac{(52-57.18)^{2}}{57.18}+\frac{(19-13.82)^{2}}{13.82}+\frac{(39-33.82)^{2}}{33.82}+\frac{(3-8.18)^{2}}{8.18}$
**4. 查卡方值表求P值**
在查表之前应知本题自由度。按卡方检验的自由度v=（行数-1）（列数-1），则该题的自由度v=（2-1）*（2-1）=1，查卡方界值表，找到$x_{0.05}^{2}(1)=3.84$，而本题卡方=6.48即卡方＞$x_{0.05}^{2}(1)$，P＜0.05，差异有显著统计学意义，按α=0.05水准，拒绝H0，可以认为两组发癌率有差别。
通过实例计算，读者对卡方的基本公式有如下理解：若各理论数与相应实际数相差越小，卡方值越小；如两者相同，则卡方值必为零，而卡方永远为正值。又因为每一对理论数和实际数都加入卡方值中，分组越多，即格子数越多，卡方值也会越大，因而每考虑卡方值大小的意义时同时要考虑到格子数。因此自由度大时，卡方的界值也相应增大。