点估计与抽样分布
# 1、点估计
++<font face="黑体"><font color=#008000>从总体数据中抽取一些样本数据，以估计总体数据的特征参数，如均值、方差等</font></font>++
**总体<font color=Blue>均值</font>的点估计量：**$\hat{{\mu}}=\bar{x}=\frac{\sum x_{i}}{n}$
**总体<font color=Blue>方差</font>的点估计量：** $\hat{\sigma}^{2}=s^{2}=\frac{\Sigma(x-\bar{x})^{2}}{n-1}$
**<font color=Blue>总体比例</font>的点估计量：** $\hat{p}=p_{s}=$成功数目 \ 样本总数目
>$\hat{{\mu}}$为总体均值的点估计量 ； $\bar{x}$为样本的均值 ；
>$\hat{{\mu}}$为总体方差的点估计量 ； $s^{2}$为**样本方差** ;
>$\hat{p}$为总体比例的点估计量 ; $p_{s}$为样本的比例 ;
++****良好的点估计量应具备的性质：<font color=Blue>无偏性、有效性和一致性</font>****++
# 2、抽样分布
>**前言：**
++<font face="黑体"><font color=#008000>对于一次抽样得到的对总体的参数估计，可能再抽样一次结果就不同了，因此对于不同的参数估计值，都有一个概率分布。</font></font>++
>
>++<font face="黑体"><font color=red>样本均值是总体均值的估计值，样本比例是总体比例的估计值。使用这些估计值时，会存在一些抽样误差或正、负值。最好能够对抽样误差的大小作出概率描述的统计方法。</font></font>++
>**条件：**
> 1. **当样本容量较大时（n>=30）：**
无论总体是什么分布，根据[中心极限定理](doc:TE0X5Bta)，$\bar{x}$的抽样分布可以由正态概率分布近似表示。 （此处$\bar{x}$不特指均值，也包括其他参数）
>2. **当样本容量较小时（n<30）：**
>- 若总体具有正态概率分布，且$\sigma^{2}$未知，样本容量小时，$\bar{x}$符合T分布。
>- 若总体具有正态概率分布，且$\sigma^{2}$已知，样本容量小时，$\bar{x}$符合正态分布。
>**$\bar{x}$ 的<font color=Blue>数学期望</font>：** $E(\bar{x})=\mu$
>
>**$\bar{x}$ 的<font color=Blue>标准差</font>：**
>- 有限总体（有放回抽样）：$\sigma_{\bar{x}}=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$
>- 无限总体（无放回抽样）：$\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
>**$\bar{p}$ 的<font color=Blue>数学期望</font>：**$E(\bar{p})=p$
>
>**$\bar{p}$ 的<font color=Blue>标准差</font>：**
>- 有限总体（有放回抽样）：$\sigma_{\bar{p}}=\sqrt{\frac{N-n}{N-1}} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
>- 无限总体（无放回抽样）：$\sigma_{\bar{p}}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$
>N为总体数据量 ； n为所抽样的样本容量 ； $\bar{x}$为总体均值的估计量
$\mu$为总体均值 ； $\sigma$为总体标准差 ； $p$为总体比例
# 3、区间估计
++<font face="黑体"><font color=#008000>由于点估计量不能提供关于估计值与总体参数接近程度的信息，统计学家更倾向于使用**区间估计**</font></font>++
>类似 总体均值$\mu$有 95%的可能性落在 [$\bar{x} \pm z_{0.05 / 2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$]
### 总体均值区间估计
>注：图中默认了 **$\bar{x}$ 的<font color=Blue>标准差</font>** 是$\sigma_{\bar{x}}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，暂时不知为何，下同
### 总体比例区间估计：
### 总体方差区间估计
# 4、两个总体均值和比例的推断统计
### <font color=red>$\bar{x}_{1}-\bar{x}_{2}$ 的抽拉分布</font>
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### <font color=red>$\mu_{1}-\mu_{2}$ 的区间估计：大样本情形</font>
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### <font color=red>$\mu_{1}-\mu_{2}$ 的区间估计：小样本情形</font>
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### <font color=red>$\bar{p}_{1}-\bar{p}_{2}$ 的抽样幼布</font>
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### <font color=red>两个总体比例之差的区间估计：大样本情形</font>
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**参考：**
[区间估计](http://faculty.zuel.edu.cn/_upload/article/files/fb/58/f3956232492ea839a38025de7bb4/0edd93b6-7f8b-40e5-96eb-7bfc0840cd38.pdf)
《深入浅出统计学》
《商务与经济统计》