Z检验
# Z检验
- 检验一个样本平均数与一个己知的总体平均数的差异是否显著
- 检验来自两个的两组样本平均数的差异性，从而判断它们各自代表的总体的差异是否显著
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> **使用条件**：
> 1. 正态分布
> 2. 总体标准差已知**或者**样本容量足够大(>30)
在讨论T检验之前，我们先回顾如何**将普通正态分布转换成标准正态分布**。这需要用到下面Z分数的计算公式：$Z_{i}=\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}$，其中：$X_{i}$为数据总体中的第$i$个数据；$\mu$为总体均值；$\sigma$为总体标准差；
通过上面这个公式计算得到的数值称为Z分数。对于容量比较大（大于100）的数据集，**如果其满足正态分布**，那么根据上面公式求出数据集中每个数值的Z分数，由这些Z分数构成一个新的序列，这个序列就是Z分布序列。
有了Z分布，Z分数的计算公式不仅可以用作普通正态分布的标准化，还被用于判断均值差异显著性的Z检验，也就是下面的情况：
**1、** 总体标准差已知或样本容量大于30，**比较两个样本的均值**是否有显著性的差异，检验公式如下：
$Z=\frac{\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}=\frac{\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-0}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}}}$ （总体标准差已知）
$Z=\frac{\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-\left(\mu_{1}-\mu_{2}\right)}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}}=\frac{\left(\bar{X}_{1}-\bar{X}_{2}\right)-0}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_{1}}+\frac{S_{2}^{2}}{n_{2}}}}$ （总体标准差未知，样本容量大）
其中：$\bar{X}_{1}$、$\bar{X}_{2}$是两样本均值；$\mu_{1}$、$\mu_{2}$是两个样本的抽样总体的均值，**检验时假设两个总体的均值相等**，所以差为0；$\sigma_{1}$、$\sigma_{2}$是两个总体的标准差；$S_{1}$、$S_{2}$是两个样本的标准差；
**2、** 总体标准差已知或样本容量大于30，**比较某个总体的均值与某个常数**是否有显著性的差异，检验公式如下：
$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ (总体标准差已知)
$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$ （总体标准差未知，样本容量大）
其中：$\bar{X}$为样本均值；$\mu$为假设与样本均值无显著性差异的常数；$\sigma$为总体标准差；$S$为样本标准差；
> **注意**：对比 Z分数：$Z_{i}=\frac{X_{i}-\mu}{\sigma}$ ，Z检验统计量为：$Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$ 或 $Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$，可以发现分母不太一样，这是因为Z分数的分母是数据$x_i$的标准差，而Z统计量分母则是抽样得到的部分数据$X_i$的**均值**的标准差。$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$叫做标准误：[标准差与标准误区别](https://zhuanlan.zhihu.com/p/122897125)；专门衡量样本均值的标准差。
>当总体标准差未知是，用样本标准差$s$替代。 样本标准差公式的分母是$n-1$;而不是总体标准差公式的$n$；这是因为一般样本的标准差都会小于总体，因此特地除以$n-1$来纠正。【但其实好像n-1指的是自由度】
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>**总体均值**假设检验的检验统计量的总结
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> **注：** 当小样本(n < 30)，总体近似正态且总体方差未知时，T检验适用性优于Z检验
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**重要公式：**
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(注意：此图中n=16，它有错误)
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参考：
[如何理解Z检验和T检验？](https://zhuanlan.zhihu.com/p/49468324)
[假设检验之z-检验，t-检验，卡方检验](https://blog.csdn.net/tianguiyuyu/article/details/80789856)